Transformaciones logarítmicas#
Imaginá que tenés datos de salarios anuales de 500 ingenieros de software en Silicon Valley. La mayoría gana entre 80 mil y 150 mil dólares; unos pocos fundadores y ejecutivos ganan diez o cien veces más. Si graficás esa distribución, la cola derecha se extiende lejos — el promedio está inflado por los valores extremos y la mediana queda mucho más abajo. Ahora tomá el logaritmo de cada salario: la distribución se vuelve casi simétrica, el histograma parece una campana.
Este cambio de escala no es solo cosmético. La misma transformación que endereza la distribución también cambia radicalmente cómo se interpreta el coeficiente de regresión. En este apartado veremos por qué los logaritmos son la herramienta más usada en econometría para capturar relaciones proporcionales y no lineales, y cómo elegir entre las cuatro especificaciones posibles.
¿Por qué tomar logaritmos?#
Tres razones se repiten en la práctica:
Distribución asimétrica. Variables como salarios, ingresos de empresas, precios de viviendas o cantidades exportadas tienen colas largas hacia la derecha. Su logaritmo es mucho más simétrico y se acerca mejor al supuesto de normalidad que necesitan los intervalos de confianza exactos.
Efectos proporcionales. Un aumento de $1.000 en el salario de alguien que gana $20.000 es enorme (5%); el mismo monto para alguien que gana $500.000 es irrelevante (0.2%). Cuando los agentes responden a cambios relativos más que a cambios absolutos, el logaritmo es la escala natural.
Linealización de relaciones multiplicativas. Si la teoría sugiere \(Y = A \cdot X^{\beta_1}\), esa relación no es lineal en los parámetros. Pero \(\ln Y = \ln A + \beta_1 \ln X\) sí lo es, y podemos estimarla por MCO.
Nota
El logaritmo natural solo está definido para valores estrictamente positivos. Antes de transformar una variable, verificá que todas sus observaciones sean \(> 0\). Variables que pueden tomar el valor cero (horas extras, número de hijos, exportaciones de un sector en ciertos años) requieren un tratamiento especial.
Simulación: ¿qué especificación ajusta mejor?#
Antes de ver las fórmulas, explorá el siguiente dashboard. Vas a generar datos desde cuatro procesos generadores distintos y ver cuál especificación de regresión — nivel-nivel, log-nivel, nivel-log o log-log — produce los mejores ajustes y residuos más limpios.
¿Qué buscar?
Cuando la forma verdadera es Log-Log, ¿en qué columna el scatter se vuelve más lineal?
¿El patrón de residuos mejora en la especificación correcta?
¿Qué pasa con \(n = 50\) y ruido alto? ¿Y con \(n = 500\) y ruido bajo?
¿Qué observamos?#
La transformación correcta endereza el scatter y elimina el patrón en los residuos. En la especificación incorrecta, los residuos vs. ajustados muestran una curva en U (si ajustamos una línea a una relación convexa) o en U invertida (si la relación es cóncava). El \(R^2\) es una señal útil, pero no suficiente: una especificación incorrecta puede tener un \(R^2\) razonable con residuos que muestran curvatura sistemática — lo que viola los supuestos de MCO. El diagnóstico correcto siempre incluye el gráfico de residuos.
Modelo log-nivel: logaritmo en la variable dependiente#
El modelo log-nivel (o semi-logarítmico) transforma solo \(Y\):
Interpretación del coeficiente \(\beta_1\)#
Cuando \(X\) aumenta en una unidad, la diferencia de logaritmos es:
Es decir, \(Y'/Y = e^{\beta_1}\). El cambio porcentual exacto en \(Y\) ante un incremento de una unidad en \(X\) es:
Para valores pequeños de \(|\beta_1|\), la expansión de Taylor \(e^z \approx 1 + z\) da la regla aproximada habitual:
Un aumento de una unidad en \(X\) se asocia con un cambio de aproximadamente \(100 \cdot \beta_1\%\) en \(Y\).
Por ejemplo, si en la regresión \(\ln(\text{salario})\) sobre años de experiencia obtenemos \(\hat\beta_1 = 0.08\), la lectura directa es: un año más de experiencia se asocia con un salario aproximadamente 8% mayor.
¿Cuándo falla la aproximación?#
La regla del \(100\beta_1\%\) es precisa cuando \(|\beta_1|\) es pequeño, pero se deteriora para coeficientes más grandes — como los retornos a la educación (10–20%) o los efectos de tratamientos intensivos. La siguiente simulación muestra exactamente dónde ocurre esa brecha.
¿Qué buscar?
¿A partir de qué valor de \(\beta_1\) la diferencia entre la aproximación y el valor exacto supera 3 puntos porcentuales?
Los retornos a la educación suelen estar entre 8% y 15%. ¿En qué parte de ese rango conviene más usar la fórmula exacta?
Aproximación vs. valor exacto
La regla del \(100\beta_1\%\) es confiable cuando \(|\beta_1| < 0.10\) aproximadamente (el error es menor a 0.5 puntos porcentuales). Para coeficientes más grandes, reportá el efecto exacto: \(100(e^{\beta_1}-1)\%\). Por ejemplo, \(\hat\beta_1 = 0.40\) implica un cambio exacto de \(100(e^{0.40}-1) \approx 49\%\), no 40%.
Modelo nivel-log: logaritmo en la variable explicativa#
El modelo nivel-log transforma solo \(X\):
Interpretación del coeficiente \(\beta_1\)#
Usando el diferencial, un cambio \(\Delta X\) produce:
Si expresamos \(\Delta X / X\) como cambio porcentual dividido por 100:
Un aumento de 1% en \(X\) se asocia con un cambio de \(\hat\beta_1 / 100\) unidades en \(Y\).
Este modelo captura rendimientos decrecientes: cada unidad adicional de \(X\) aporta menos que la anterior. Como vimos en la simulación anterior, este es el caso de «rendimientos decrecientes»: el scatter en el espacio nivel-nivel muestra una curva cóncava que se aplana, mientras que en el espacio nivel-log (donde \(X\) está en logaritmos) la relación se vuelve lineal.
Un ejemplo concreto: en la relación entre presupuesto publicitario e ingresos de una empresa, pasar de invertir $1.000 a $10.000 tiene un efecto enorme en las ventas; pasar de $5 millones a $6 millones en publicidad, mucho menos. Los primeros dólares capturan al cliente más fácil de alcanzar; los últimos van tras audiencias progresivamente más difíciles de convencer.
Modelo log-log: logaritmo en ambas variables#
El modelo log-log (o doble logarítmico) transforma tanto \(Y\) como \(X\):
El coeficiente \(\beta_1\) tiene una interpretación especialmente limpia: es la elasticidad de \(Y\) respecto de \(X\).
Dashboard: elasticidad precio-demanda#
Antes de la derivación formal, explorá el siguiente dashboard. Vas a ver cómo varía la pendiente en el espacio log-log según la elasticidad, y cómo eso se traduce en el impacto sobre los ingresos totales de una plataforma de e-commerce.
¿Qué buscar?
¿Qué pasa con los ingresos cuando la elasticidad es mayor que 1 en valor absoluto y el precio sube?
¿En qué valor de \(\beta_1\) los ingresos son independientes del precio?
¿Cómo cambia la pendiente de la recta en el espacio log-log a medida que variás la elasticidad?
¿Qué observamos?#
La pendiente de la recta en el espacio log-log es la elasticidad: una medida adimensional que no depende de las unidades de \(P\) ni de \(Q\). La frontera en \(|\beta_1| = 1\) separa dos regímenes con implicaciones opuestas para los ingresos:
Demanda inelástica (\(|\beta_1| < 1\)): si el precio sube 10%, la cantidad cae menos de 10%. Los ingresos suben.
Elasticidad unitaria (\(|\beta_1| = 1\)): precio y cantidad se mueven en igual proporción. Los ingresos no cambian.
Demanda elástica (\(|\beta_1| > 1\)): si el precio sube 10%, la cantidad cae más de 10%. Los ingresos bajan.
Empresas como Amazon estiman rutinariamente estas elasticidades por producto para sus algoritmos de pricing dinámico.
Derivación formal#
Usando el diferencial sobre \(\ln Y = \beta_0 + \beta_1 \ln X + \varepsilon\):
En términos de cambios porcentuales:
Un aumento de 1% en \(X\) se asocia con un cambio de \(\beta_1\%\) en \(Y\).
Resumen comparativo#
Modelo |
Ecuación |
Interpretación de \(\hat\beta_1\) |
|---|---|---|
Nivel-nivel |
\(Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon\) |
\(\Delta X = 1 \Rightarrow \Delta Y = \hat\beta_1\) (unidades) |
Log-nivel |
\(\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon\) |
\(\Delta X = 1 \Rightarrow \%\Delta Y \approx 100\hat\beta_1\) |
Nivel-log |
\(Y = \beta_0 + \beta_1 \ln(X) + \varepsilon\) |
\(\%\Delta X = 1 \Rightarrow \Delta Y \approx \hat\beta_1/100\) |
Log-log |
\(\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 \ln(X) + \varepsilon\) |
\(\%\Delta X = 1 \Rightarrow \%\Delta Y \approx \hat\beta_1\) (elasticidad) |
En la primera simulación de este apartado viste a estos cuatro modelos en acción: cada DGP tiene una especificación correcta (la columna verde), y solo esa produce residuos sin patrón.
¿Cómo elegir la especificación?#
La elección no debería basarse únicamente en cuál produce un \(R^2\) más alto. Tres criterios guían la decisión:
Teoría económica. La teoría usualmente sugiere la escala más natural. Si el fenómeno de interés opera en términos proporcionales (salarios, elasticidades de demanda, retornos a escala), el logaritmo es la escala apropiada.
Inspección gráfica del scatter. Como mostramos en la primera simulación, el scatter revela si la relación es lineal, cóncava o convexa en cada espacio de variables. Una relación que parece curva en el espacio nivel-nivel puede volverse lineal al tomar logaritmos.
Diagnóstico de residuos. Comparar el patrón de residuos vs. ajustados entre especificaciones es más informativo que comparar \(R^2\) solos. La especificación correcta produce residuos sin curvatura sistemática.
Poné a prueba lo que aprendiste#
Referencias#
Los dashboards interactivos de esta sección también se apoyan en Stock and Watson [2020], Gujarati and Porter [2010], Varian [2014], Pindyck and Rubinfeld [2013], Halvorsen and Palmquist [1980] y Kennedy [1981], además de Wooldridge [2020].
Damodar N Gujarati and Dawn C Porter. Basic Econometrics. McGraw-Hill, 5th edition, 2010.
Robert Halvorsen and Raymond Palmquist. The interpretation of dummy variables in semilogarithmic equations. American Economic Review, 70(3):474–475, 1980.
Peter Kennedy. Estimation with correctly interpreted dummy variables in semilogarithmic equations. American Economic Review, 71(4):801, 1981.
Robert S Pindyck and Daniel L Rubinfeld. Microeconomics. Pearson, 8th edition, 2013.
James H Stock and Mark W Watson. Introduction to Econometrics. Pearson, 4th edition, 2020.
Hal R Varian. Intermediate Microeconomics. W.W. Norton, 9th edition, 2014.
Jeffrey M Wooldridge. Introductory Econometrics: A Modern Approach 7rd ed. Cengage learning, 2020.